Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是R，若f（x）是奇函數(shù)，0≤x＜1時(shí)，f（x）=，且滿足f（x+2）=f（x）．
（1）寫出f（x）的周期．
（2）求-1≤x≤0時(shí)，f（x）的解析式．
（3）求1＜x＜3時(shí)，f（x）的解析式．
（4）求使f（x）=成立所有x．

Answer 1

解：（1）由f（x+2）=f（x）可得，周期T=2．
（2）設(shè)-1＜x≤0，則0≤-x＜1．由于0≤x＜1時(shí)，f（x）=，
∴f（-x）=×（-x）=-x=-f（x），故有f（x）=x．
當(dāng)x=-1時(shí)，由奇函數(shù)的定義可得f（-1）+f（1）=0，再由函數(shù)的周期等于2，可得f（-1）=f（1）=0，
故有-1≤x≤0時(shí)，f（x）=．
（3）由（2）可得，-1＜x＜1時(shí)，f（x）=．
設(shè)1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，故 f（x-2）=（x-2）=f（x），∴f（x）=（x-2）．
（4）如圖所示：由于函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，），故滿足f（x）=成立所有x不存在．

分析：（1）直接由f（x+2）=f（x）即可求出周期；
（2）設(shè)-1≤x≤0根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得，f（x）=x．
（3）設(shè)1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，根據(jù)其周期性即可求出結(jié)論．
（4）數(shù)形結(jié)合，由于函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，），滿足f（x）=成立所有x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．