Question

函數(shù)y=f（x）=Asin（ωx+θ），（A，ω，θ＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，D為圖象的最高點，B(-

4

3

，0)、C(

8

3

，0)為圖象與x軸的交點，且△BCD為正三角形．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將y=f（x）的圖象向右平移2個單位得到函數(shù)y=g（x），求y=g（x）的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知BC=

1

2

×

2π

ω

求得ω，由五點法作圖求得 θ，根據(jù)△BCD為正三角形求得振幅A，從而求得函數(shù)的解析式
（Ⅱ）函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，求得g(x)=2

3

sin(

π

4

x-

π

6

)，令

π

2

+2kπ≤

π

4

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由題意知BC=

1

2

×

2π

ω

=

8

3

+

4

3

=4，∴ω=

π

4

．
由五點法作圖可得

π

4

×(-

4

3

)+θ=0，∴θ=

π

3

．
再由A=

3

2

BC=2

3

，可得函數(shù)的解析式為y=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)．
（Ⅱ）由題意可得g(x)=2

3

sin[

π

4

(x-2)+

π

3

]=2

3

sin(

π

4

x-

π

6

)，
令

π

2

+2kπ≤

π

4

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，可得

1

2

+2k≤

1

4

x-

1

6

≤

3

2

+2k，k∈z．

2

3

+2k≤

1

4

x≤

5

3

+2k，即

8

3

+8k≤x≤

20

3

+8k，（k∈Z）
故函數(shù)的減區(qū)間為[

8

3

+8k，

20

3

+8k]（k∈Z）．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的減區(qū)間，屬于中檔題．