Question

2．已知函數(shù)f（x）=acos2x+bsin2x+$\sqrt{3}$的圖象過點（$\frac{π}{12}$，2$\sqrt{3}$）和點（$\frac{2π}{3}$，-2+$\sqrt{3}$），求：
（1）函數(shù)在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向下平移$\sqrt{3}$個單位，然后保持縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$得到函數(shù)y=g（x），求g（x）的最小正周期和在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，可以由圖象過的兩個點建立兩個方程，求出a，b兩個未知數(shù)，即可得到y(tǒng)=f（x）的解析式，進一步在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將y=f（x）經(jīng)過平移伸縮變換得到y(tǒng)=g（x）的解析式，由T=$\frac{2π}{ω}$求得最小正周期；利用y=g（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]的單調(diào)性求出最小值．

解答 解：（1）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{acos（2*\frac{π}{12}）+bsin（2*\frac{π}{12}）+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\{acos（2*\frac{2π}{3}）+bsin（2*\frac{2π}{3}）+\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$（k∈Z）
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2}{3}π+kπ$（k∈Z），
所以減區(qū)間為：[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2}{3}π+kπ$]（k∈Z），
所以當k=-1時，為[-$\frac{5π}{6}$，$-\frac{π}{3}$]，
當k=0時，為[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
又因為x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[$-\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
向右平移$\frac{π}{6}$個單位得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\sqrt{3}$即y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
再向下平移$\sqrt{3}$個單位得y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
然后保持縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$得y=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
即g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
所以T=$\frac{π}{2}$；
又因為x∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]，
所以4x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$]，
所以當4x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)y=g（x）取得最小值為-2．

點評 本題難度中等，屬于三角函數(shù)內(nèi)容里的常見題型，綜合性較強．主要考察①用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式②已知定義域求函數(shù)單調(diào)性③以及函數(shù)圖象的平移伸縮變化等內(nèi)容．