已知{an}是首項a1=-
5
2
，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，S4=2S2+4，bn=
1+an
an
．則當bn取得最大值是，n=
4
4
．
分析：由等差數(shù)列的求和公式結合S4=2S2+4，可得公差d=1，進而可得{an}的通項公式，代入并變形可得bn=1+
2
2n-7
，結合函數(shù)y=
2
2x-7
的單調性可知當n=4時，取最大值．
解答：解：由等差數(shù)列的求和公式可得：S4=4a1+
4×3
2
d=4a1+6d，S2=2a1+
2×1
2
d=2a1+d
代入S4=2S2+4，可得d=1，故{an}的通項公式為：an=a1+（n-1）d=n-
7
2
，
故bn=
1+an
an
=
n-
5
2
n-
7
2
=
2n-5
2n-7
=
2n-7+2
2n-7
=1+
2
2n-7
．
而函數(shù)y=
2
2x-7
在（-∞，
7
2
）和（
7
2
，+∞）上均為減函數(shù)，
結合n為正整數(shù)可知，數(shù)列{bn}的前三項為負值，故數(shù)列的第4項最大．
故答案為：4
點評：本題為數(shù)列項的最值問題，涉及函數(shù)的單調性，其中分離常數(shù)把數(shù)列的通項公式變形是解決問題的關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，bn=
1+anan
．若對任意的n∈N*，都有bn≥b10成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N﹡）．
（1）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=kx，（k＞1）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；
（2）已知數(shù)列{cn}的首項為2010，Sn是數(shù)列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明{cn}是“三角形”數(shù)列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數(shù)列{cn}的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列{cn}最多有多少項．
[理科]根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對函數(shù)h（x）=-x2+2x，x∈[1，A]，和數(shù)列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6，則數(shù)列{
1
an
}的前5項和為（　�。�
A、
15
8
或5
B、
31
16
或5
C、
31
16
D、
15
8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6，則數(shù)列{
1
an
}的前5項和為（　�。�
A、
85
32
B、
31
16
C、
15
8
D、
85
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•寶坻區(qū)一模）已知{an} 是首項為1的等比數(shù)列，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{
1
an
}的前5項的和為（　�。�

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