Question

3．已知長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的外接球的體積為$\frac{32π}{3}$，則該長方體的表面積的最大值為（　　）

• A． 32
• B． 28
• C． 24
• D． 16

Answer 1

分析 設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長寬高分別為x，y，z，根據外接球的直徑就是長方體對角線，且外接球的體積為$\frac{32π}{3}$，得到x²+y²+z²=16，進而根據基本不等式得到長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面積S=2xy+2yz+2zx≤32．

解答 解：設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長寬高分別為x，y，z，
∵外接球的直徑就是長方體對角線，且外接球的體積為$\frac{32π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{32π}{3}$，
∴R=2，
∴長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的直徑為4，
則有x²+y²+z²=16，
則長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面積S=2xy+2yz+2zx≤x²+y²+z²+x²+y²+z²=32，
則長方體的表面積的最大值為32，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是長方體的表面積，長方體的外接球，球的體積公式，基本不等式，難度中檔．