Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：因為對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），所以令a=b=0，則有f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1．
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞1，當x=0時，f（0）=1，所以只需證明當x＜0時，f（x）＞0即可．
當x＜0時，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），因為f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
故對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）是增函數(shù)，證明如下
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=[f（x₂-x₁）-1]f（x₁），
由題意知f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在R上為增函數(shù)．
分析：（1）利用賦值思想即可得到結(jié)論；
（2）由于當x＞0時，f（x）＞1，當x=0時，f（0）=1，當x＜0時，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），利用互為倒數(shù)可知，結(jié)論成立；
（3）利用單調(diào)性的定義，作差，然后判定與零的大小關(guān)系得到，注意結(jié)合題中的關(guān)系式的變換得到．
點評：本題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及函數(shù)值符號的判定的綜合運用．