Question

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點M的橫坐標為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當≤k≤2時，|AB|²+|DE|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過F（0，），圓心Q在線段OF平分線y=上，推出求出p=1，推出拋物線C的方程．
（Ⅱ）假設存在點M（x，），（x＞0）滿足條件，拋物線C在點M處的切線的斜率為函數(shù)的導數(shù)，求出Q的坐標，利用|QM|=|OQ|，求出M（）．使得直線MQ與拋物線C相切與點M．
（Ⅲ）當x=時，求出⊙Q的方程為．利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，通過|AB|²+|DE|²的表達式，通過換元，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知F（0，），圓心Q在線段OF平分線y=上，
因為拋物線C的標準方程為y=-，
所以，即p=1，
因此拋物線C的方程x²=2y．
（Ⅱ）假設存在點M（x，），（x＞0）滿足條件，
拋物線C在點M處的切線的斜率為
y′==x．
令y=得，，
所以Q（），
又|QM|=|OQ|，
故，
因此．又x＞0．
所以x=，此時M（）．
故存在點M（），使得直線MQ與拋物線C相切與點M．
（Ⅲ）當x=時，由（Ⅱ）的Q（），⊙Q的半徑為：r==．
所以⊙Q的方程為．
由，整理得2x²-4kx-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由，整理得（1+k²）x²-，
設D，E兩點的坐標分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=＞0，x₃+x₄=，x₃x₄=．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）+，令1+k²=t，由于，則，
所以|AB|²+|DE|²=t（4t-2）+=4t²-2t+，
設g（t）=4t²-2t+，t，因為g′（t）=8t-2-，
所以當t，g′（t）≥g′（）=6，
即函數(shù)g（t）在t是增函數(shù)，所以當t=時，g（t）取最小值，
因此當k=時，|AB|²+|DE|²的最小值為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的標準方程，拋物線的簡單性質，設而不求的解題方法，弦長公式的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．