Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函數(shù)h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)h（x）的定義域，即是使得函數(shù)f（x），g（x）都有意義的條件，從而可得，利用函數(shù)奇偶函數(shù)的定義檢驗(yàn)h（-x）與h（x）的關(guān)系可判斷函數(shù)的奇偶性
（2）由f（3）=2得a=2，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得h（x），代入解不等式即可

解答：解：（1）由題意，得

1+x＞0?x＞-1 1-x＞0?x＜1

解得-1＜x＜1
故h（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．（3分）
h（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，
且h（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
故h（x）為奇函數(shù)．（7分）
（2）由f（3）=2得a=2（9分）
h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)=log2(

1+x

1-x

)＜0=log21
即

1+x 1-x ＜1?x＜0或x＞1 -1＜x＜1

，
解得-1＜x＜0
∴所求的x的集合{x|-1＜x＜0}（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求解，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對(duì)數(shù)不等式的解法，牽涉的知識(shí)比較多，但只要掌握基本知識(shí)、基本方法，問題就能迎刃而解．