Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且

AF2

+5

BF2

=

0

．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)，M 為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連接MF₁并延長交橢圓E于點(diǎn)N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連接PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問是否存在常數(shù)λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

AF2

+5

BF2

=

0

，得

AF2

=5

F2B

，從而有a+c=5（a-c），結(jié)合離心率定義即可求得答案；
（2）由點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)可求得c值，進(jìn)而可求出a值、b值，得到橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為x=

x1-1

y1

y+1，與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理可把P、Q坐標(biāo)用M、N坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)三點(diǎn)M、F₁、N共線及斜率公式可得k₁、k₂間的關(guān)系式，由此可得答案．

解答：解：（1）∵

AF2

+5

BF2

=

0

，∴

AF2

=5

F2B

．
∴a+c=5（a-c），化簡得2a=3c，
故橢圓E的離心率為

2

3

．
（2）存在滿足條件的常數(shù)λ，λ=-

4

7

．
∵點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)，∴c=2，從而a=3，b=

5

，
左焦點(diǎn)F₁（-2，0），橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為x=

x1-1

y1

y+1，
代入橢圓方程

x2

9

+

y2

5

=1，整理得，

5-x1

y12

y2+

x1-1

y1

y-4=0．
∵y1+y3=

y1(x1-1)

x1-5

，∴y3=

4y1

x1-5

．
從而x3=

5x1-9

x1-5

，故點(diǎn)P(

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

)．同理，點(diǎn)Q(

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

)．
∵三點(diǎn)M、F₁、N共線，∴

y1

x1+2

=

y2

x2+2

，從而x₁y₂-x₂y₁=2（y₁-y₂）．
從而k2=

y3-y4

x3-x4

=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

x1y2-x2y1+5(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7k1

4

．
故k1-

4k2

7

=0，從而存在滿足條件的常數(shù)λ，λ=-

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立、三點(diǎn)共線及橢圓的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對能力要求較高，屬難題．