Question

（2011•通州區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=ln(1+2x)+

a

x

，a∈R．
（I）證明當(dāng)a＜0時(shí)，?x∈（0，+∞），總有f（x+1）＞f（x）；
（II）若f（x）存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（0，+∞）時(shí)的單調(diào)性，即可證明f（x+1）＞f（x）；
（II）利用f（x）存在極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得方程，即可求a的取值范圍．

解答：（I）證明：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

2

1+2x

-

a

x2

∵a＜0時(shí)，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）解：令f′（x）=0，可得

2

1+2x

-

a

x2

=0（x＞-

1

2

）
∵f（x）存在極值點(diǎn)，
∴

2

1+2x

-

a

x2

=0在x＞-

1

2

時(shí)成立
∴a=

2x2

1+2x

x=0時(shí)，a=0，f（x）=ln（1+2x），函數(shù)不存在極值點(diǎn)；
x≠0時(shí)，a=

2

1 x2 + 2 x

=

2

( 1 x +1)2-1

∵x＞-

1

2

，∴(

1

x

+1)2-1＞0
∴

2

( 1 x +1)2-1

＞2
∴a＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．