Question

直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥A′D；
（2）求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先

CA

=a，

CB

=b，，

CC

=c建立一個(gè)基底，再用基底表示

CE

，

A′D

，然后計(jì)算其數(shù)量積，可得答案；
（2）由（1）表示

A′C

，

CE

=|

5

2

|，再用向量的夾角求解．

解答：解：（1）證明：設(shè)

CA

=a，

CB

=b，

CC′

=c，
根據(jù)題意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，
∴

CE

=b+

1

2

c，

A′D

=-c+

1

2

b-

1

2

a．
∴

CE

•

A′D

=-

1

2

c²+

1

2

b²=0．
∴

CE

⊥

A′D

，即CE⊥A′D．
（2）

A′C

=-a+c，∴|

A′C

|=

2

|a|，|

CE

|=

5

2

|a|．

A′C

•

CE

=（-a+c）•（b+

1

2

c）=

1

2

c²=

1

2

|a|²，
∴cos＜

A′C

，

CE

＞=

1 2 |a|2

2• 5 2 |a|2

=

10

10

．
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為

10

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查向量法解決空間幾何中的直線與直線垂直和異面直線所成的角．