Question

19．在一個(gè)直角邊長(zhǎng)為10m的等腰直角三角形ABC的草地上，鋪設(shè)一個(gè)也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三點(diǎn)分別在△ABC的三條邊上，且要使△PQR的面積最小，現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案：
方案-：直角頂點(diǎn)Q在斜邊AB上，R，P分別在直角邊AC，BC上；
方案二：直角頂點(diǎn)Q在直角邊BC上，R，P分別在直角邊AC，斜邊AB上．請(qǐng)問應(yīng)選用哪一種方案？并說明理由．

Answer 1

分析 分別求出兩種方案，面積的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：方案-：直角頂點(diǎn)Q在斜邊AB上，R，P分別在直角邊AC，BC上，則P，Q，R，C四點(diǎn)共圓，且AB與圓相切時(shí)△PQR的面積最小，最小面積為$\frac{1}{2}×5×5$=$\frac{25}{2}$；
方案二：直角頂點(diǎn)Q在直角邊BC上，R，P分別在直角邊AC，斜邊AB上，設(shè)QP=QR=l，∠QRC=α，
∴2lsinα+lcosα=10，
∴l(xiāng)=$\frac{10}{2sinα+cosα}$=$\frac{10}{\sqrt{5}sin（α+θ）}$≥$\frac{10}{\sqrt{5}}$，
∴最小面積為$\frac{1}{2}×（\frac{10}{\sqrt{5}}）^{2}$=10，
∵$\frac{25}{2}$＞10，
∴應(yīng)選用方案二．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．