Question

16．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，a₂-1、a₃、a₇成等比數(shù)列，{a_n}前n項(xiàng)和S_n滿足a_n+1²=2S_n+n+4，則（n-6）S_n的最小值為（　　）

• A． -26
• B． -27
• C． -28
• D． -30

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求得公差，結(jié)合a₂-1、a₃、a₇成等比數(shù)列求出首項(xiàng)，得到{a_n}前n項(xiàng)和S_n，代入（n-6）S_n，利用導(dǎo)數(shù)求得最值．

解答 解：由a_n+1²=2S_n+n+4  ①，得
a_n²=2S_n-1+n-1+4（n≥2）②，
兩式作差得：${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2{a}_{n}+1$．
∴${{a}_{n+1}}^{2}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+1．
即a_n+1-a_n=1．
則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₃=a₂+d，a₇=a₂+5d，
由a₂-1、a₃、a₇成等比數(shù)列，得
$（{a}_{2}+d）^{2}=（{a}_{2}-1）（{a}_{2}+5d）$，即d²=3a₂d-a₂-5d，
∴${a}_{1}=\frac{2d（3-d）}{3d-1}$=$\frac{4}{2}=2$．
則${S}_{n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{n}^{2}+3n}{2}$．
∴（n-6）S_n=（n-6）$•\frac{{n}^{2}+3n}{2}$=$\frac{1}{2}（{n}^{3}-3{n}^{2}-18n）$．
令f（n）=n³-3n²-18n，
則f′（n）=3n²-6n-18．
由f′（n）=0，解得：n=1+$\sqrt{7}$．
∵n∈N，∴取n=4．
∴當(dāng)n=4時(shí)，f（n）有最小值為-56，
∴（n-6）S_n的最小值為-28．
故選；C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．