Question

9．如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=BB₁=4，BC=5，D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求三棱錐B₁-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥AA₁，AB⊥AC，從而AB⊥平面ACC₁A₁，由此能證明AB⊥A₁C．
（2）連結(jié)AB₁，A₁B，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，推導(dǎo)出OD∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面AB₁D．
（3）由BB₁⊥平面ABD，${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，能求出三棱錐B₁-ABD的體積．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，
∴AB⊥AA₁，
∵AC=3，AB=BB₁=4，BC=5，∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁C．
（2）連結(jié)AB₁，A₁B，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAA₁B₁是矩形，∴O是A₁B的中點(diǎn)，
∵D為BC的中點(diǎn)，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
解：（3）∵BB₁⊥平面ABD，${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×3$=3，
∴三棱錐B₁-ABD的體積V=$\frac{1}{3}×B{B}_{1}×{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×4×3$=4．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．