如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，點(diǎn)D在BC上，AD⊥C1D．
①求證：AD⊥平面BCC1B1；
②求證：A1B∥平面ADC1．

證明：①因?yàn)锳A1∥CC1，AA1⊥平面ABC，
所以CC1⊥平面ABC，AD?平面ABC，
則CC1⊥AD，又DC1⊥AD，CC1∩DC1=C1
所以AD⊥平面BCC1B1．
②連接A1C交AC1于點(diǎn)O，連接OD，O為AC1的中點(diǎn)，由（1）知AD⊥BC，
又△ABC為正三角形，所以D為BC的中點(diǎn)，OD為△A1BC的中位線．故OD∥A1B
又OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．
分析：①由三棱柱的幾何特征，結(jié)合側(cè)棱AA1⊥平面ABC，易得CC1⊥平面ABC，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可得CC1⊥AD，又DC1⊥AD，根據(jù)線面線面垂直的判定定理，即可得到AD⊥平面BCC1B1；
②連接A1C交AC1于點(diǎn)O，連接OD，O為AC1的中點(diǎn)，由①的結(jié)論可得AD⊥BC，由已知中，△ABC是正三角形，根據(jù)三角形中位線定理，可得OD∥A1B，再由線面平行的判定定理，即可得到A1B∥平面ADC1．
點(diǎn)評：本題考查的知識是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面垂直及平行的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征，及直三棱柱的幾何特征，是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB'C'F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1：V2為（　�。�
A、3：2B、7：5C、8：5D、9：5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A=AC=2，BC=1，AB=
5
，則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，∠A1AB=60°，四邊形BCC1B1為矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求證：平面A1CB⊥平面ACB1；
（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2
2
，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一點(diǎn)，且
AN
AB
=
CM
CC1
，求證：CN∥平面AB1M；
（Ⅲ）若CM=
5
2
，求二面角A-MB1-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分別在線段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．
（1）求證：BC⊥AC1；
（2）試探究：在AC上是否存在點(diǎn)F，滿足EF∥平面A1ABB1，若存在，請指出點(diǎn)F的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

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