【題目】設(shè)是拋物線上的一點，拋物線在點處的切線方程為.

（1）求的方程；

（2）已知過點的兩條不重合直線，的斜率之積為，且直線，分別交拋物線于，兩點和，兩點.是否存在常數(shù)使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）通過直線與拋物線相切，，求出拋物線方程.


（2）將所求的轉(zhuǎn)化為，

直曲聯(lián)立得到，利用弦長公式表示出，同理得到，帶入上式整理化簡可得所求.

（1）【解法一】由消得.

由題意得，因為，所以.

故拋物線

【解法二】

設(shè)，由得，.

由解得.

故拋物線.

（2）假設(shè)存在常數(shù)使得成立，

則.

由題意知，，的斜率存在且均不為零，

設(shè)的方程為，則由，消去得，.

設(shè),，則，.

所以 .

（也可以由，得到.）

因為直線，的斜率之積為，所以.

所以.

所以，存在常數(shù)使得成立.

練習冊系列答案
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【題目】分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點，，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個命題：

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②數(shù)列是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù) ，都有 ；

④存在最大的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有．

其中真命題的序號是________________（請寫出所有真命題的序號）.

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【題目】在平面直角坐標系中，對于直線和點、，記，若，則稱點,被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點,被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.

（1）求證：點、被直線分隔；

（2）若直線是曲線的分隔線，求實數(shù)的取值范圍；

（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設(shè)點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異�！币馑际牵簝蓚�等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點；

（II）求二面角B-PD-A的大��；

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

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【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論的極值點的個數(shù)；

（2）若，，求的取值范圍.

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【題目】某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下：

①每位參加者記分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；

②每回答一題，記分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局；

③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．

假設(shè)甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．

（1）求甲同學能進入下一輪的概率；

（2）用ξ表示甲同學本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望Εξ．

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【題目】如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面所截后得到的，其中，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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