Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=log₂a_n（n∈N*），求數(shù)列{b_n•c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，已知首項(xiàng)后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n+a_n+1得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由c_n=log₂a_n求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到數(shù)列{b_n•c_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n•c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，則a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2²-2=4-2=2，滿足a_n=2ⁿ，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n+a_n+1=2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3•2ⁿ；
（2）c_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴b_n•c_n=3n•2ⁿ．
令R_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
則2R_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴$-{R}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴${R}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．
則${T}_{n}=3{R}_{n}=3（n-1）•{2}^{n+1}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．