Question

如圖，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小為60°，G為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明EG⊥平面ABCD，可得AG⊥EG，利用勾股定理，證明AG⊥DG，從而可得AG⊥平面DEG，即可得到結(jié)論；
（2）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GD為x軸，GA為y軸，GE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面EDG的法向量、平面AED的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）證明：由題意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC為二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB?平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=
∴BE²=BG²+EG²
∴EG⊥BC
∵AG?平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G為BC中點(diǎn)，∴AG=DG=，AD=2
∴AG²+DG²=AD²
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE?平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）解：以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GD為x軸，GA為y軸，GE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，，0），D（，0，0），E（0，0，）
∴=（0，），=（）
面EDG的法向量為==（0，，0）
設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則由，可得
∴可取=（3，3，）
∴cos＜＞==
∴二面角A-ED-G的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．