Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.

(1)若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；

(2)設有且僅有一個實數(shù)x₀，使得f(x₀)=x₀，求函數(shù)f(x)的解析表達式.

Answer 1

解：(1)因為對任意x∈R，有f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x，

    所以f(f(2)-2²+2)=f(2)-2²+2.

    又由f(2)=3，得f(3-2²+2)=3-2²+2,

    即f(1)=1.

    若f(0)=a，則f(a-0²+0)=a-0²+0,

    即f(a)=a.

(2)因為對任意x∈R，有f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x,

    又因為有且只有一個實數(shù)x₀，使得f(x₀)=x₀,

    所以對任意x∈R，有f(x)-x²+x=x₀.

    在上式中令x=x₀，有f(x₀)-+x₀=x₀,

    又因為f(x₀)=x₀，所以x₀-=0，故x₀=0或x₀=1.

    若x₀=0，則f(x)-x²+x=0，即f(x)=x²-x.

    但方程x²-x=x有兩個不同實根，與題設條件矛盾，故x₀≠0.

    若x₀=1，則有f(x)-x²+x=1，即f(x)=x²-x+1.

    易驗證該函數(shù)滿足題設條件.

    綜上，所求函數(shù)為f(x)=x²-x+1，x∈R.