Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴，且x∈[-1，2]．
∴f（x）在區(qū)間上遞減，上遞增，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（-1）=2與f（2）=11的最大者比較，
即f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（2）=11，最小值為．
（Ⅱ）∵．
當a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和上是增函數(shù)，g（x）在上是增函數(shù)．
由題意得解得a≥1．
當a＜0時，f（x）在和（-a，+∞）上是增函數(shù)，g（x）在上是增函數(shù)．
由題意得解得a≤-3．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．
分析：（I）將a的值代入，求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間，同時求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，求出函數(shù)的極值，再求出函數(shù)在區(qū)間端點的值，從中選出最值．
（II）求出f（x）的導函數(shù)，求出g（x）的對稱軸，通過對a的符號的討論，寫出函數(shù)的單調區(qū)間的端點與區(qū)間（a，a+2）的端點的關系，列出不等式，求出a的范圍．
點評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般利用導數(shù)求出函數(shù)的極值再求出函數(shù)在區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值，從中選出最值；求函數(shù)的單調區(qū)間，常利用導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系．