Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，根據(jù)余弦定理可得S關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而可知當(dāng)t=時(shí)，S有最小值為10，進(jìn)而求得此時(shí)的速度v．
（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在B處相遇．根據(jù)余弦定理可得v關(guān)于t的表達(dá)式，再根據(jù)t的范圍及二次函數(shù)的單調(diào)性求得v的最小值及此時(shí)t的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，
則S===
故當(dāng)t=時(shí)，S有最小值為10，此時(shí)v==30
即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最�。�
（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在B處相遇．
由題意可知：（vt）²=20²-（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡得=
由于0＜t≤，即
所以當(dāng)時(shí)，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值為10海里/小時(shí)．
點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．