Question

如圖，某小區(qū)有一邊長(zhǎng)為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計(jì)），切點(diǎn)為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)的圖象，且點(diǎn)M到邊OA距離為．

（1）當(dāng)時(shí)，求直路所在的直線方程；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）時(shí)，.

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)M到邊OA距離為，則可設(shè)，當(dāng)時(shí)，求切線的方程是一個(gè)常規(guī)問題，切線的斜率是處的導(dǎo)數(shù)，易求出直線的點(diǎn)斜式方程；（2）要求不含泳池一側(cè)的面積，就是要把這個(gè)面積表示為變量的函數(shù)，為此需要確定切線與線段的交點(diǎn)，當(dāng)然也可能是與線段的交點(diǎn)，這作一個(gè)判斷或分類討論，面積函數(shù)解決后，用一般求最值的方法，則可解決問題.

試題解析：

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，，又，所以切點(diǎn)，切線的方程為，即；

（2），過切點(diǎn)的切線

即，令得，故切線交于點(diǎn)；

令，得，又在遞減，所以

故切線與OC交于點(diǎn)。

地塊OABC在切線右上部分區(qū)域?yàn)橹苯翘菪危?/p>

面積，當(dāng)，。

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的最值.