Question

指出函數(shù)f(x)=x+

1

x

在（-∞，-1]，[-1，0）上的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂，通過判斷

f(x2)-f(x1)

x2-x1

的符號可得f（x₂）與f（x₁）的大小，由單調(diào)性的定義可得結(jié)論；同理可得當(dāng)-1≤x₁＜x₂＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0）上單調(diào)遞減，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂，
則

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+ 1 x2 )-(x1+ 1 x1 )

x2-x1

=1-

1

x1x2

，
由x₁＜x₂≤-1，知x₁x₂＞1，∴1-

1

x1x2

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)；
當(dāng)-1≤x₁＜x₂＜0時(shí)，有0＜x₁x₂＜1，得1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[-1，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，應(yīng)熟練掌握．