Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（3+2x），g（x）=log_a（3-2x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）-g（x）定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）使f（x）-g（x）的解析式有意義，須使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，構(gòu)造不等式組，可得函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)（1）可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，根據(jù)已知求出f（-x）-g（-x），并判斷其與f（x）-g（x）的關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得結(jié)論；
（3）分a＞1和0＜a＜1兩種情況，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化整式不等式，進而根據(jù)（1）中函數(shù)的定義域，可得兩種情況下x的取值范圍．

解答：解：（1）若使f（x）-g（x）的解析式有意義
須使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意義
即

3+2x＞0 3-2x＞

   
 解得：-

3

2

＜x＜

3

2

所以函數(shù)f（x）-g（x）的定義域是（-

3

2

，

3

2

）
（2）函數(shù)f（x）-g（x）是奇函數(shù)，理由如下：
由（1）知函數(shù)f（x）-g（x）的定義域關(guān)于原點對稱
又∵f（-x）-g（-x）=loga（3-2x）-loga（3+2x）
=-[loga（3+2x）-loga（3-2x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函數(shù)f（x）-g（x）是奇函數(shù)
若f（x）-g（x）＞0，即loga（3+2x）＞loga（3-2x）
當a＞1，則3+2x＞3-2x，解得x＞0，由（1）可得此時x的取值范圍（0，

3

2

）
當0＜a＜1，則3+2x＜3-2x，解得x＜0，由（1）可得此時x的取值范圍（-

3

2

，0）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)圖象和性質(zhì)是一個簡單綜合應用．