Question

（2007•武漢模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影落在AC上，側(cè)棱AA₁與底面成60°的角，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AA₁⊥BD；
（2）若面A₁DB⊥面DC₁B，求側(cè)棱AA₁之長．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直，關(guān)鍵是證明線面垂直，利用面面垂直可得線面垂直，故可證；
（2）由于面A₁DB⊥面DC₁B，△ABC是等腰三角形，D為底邊AC上中點(diǎn)，可知∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角為Rt∠，再將平面A₁ACC₁放在平面坐標(biāo)系中，可求．

解答：證明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為A₁在底面ABC上射影落在AC上，則平面A₁ACC₁經(jīng)過底面ABC的垂線 
故側(cè)面A₁C⊥面ABC．
又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線，則BD⊥AC，從而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C 
又AA₁?面A₁C，∴AA₁⊥BD
（2）解：在底面ABC，△ABC是等腰三角形，D為底邊AC上中點(diǎn)，故DB⊥AC，又面ABC⊥面A₁C
∴DB⊥面A₁C，則DB⊥DA₁，DB⊥DC₁，則∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角
∵面A₁DB⊥面DC₁B，則∠A₁DC₁=Rt∠，將平面A₁ACC₁放在平面坐標(biāo)系中（如圖），

∵側(cè)棱AA₁和底面成60°，
設(shè)A₁A=a，則A₁=（

a

2

，

3

2

a），C₁（

a

2

+2

3

，

3

2

a）  A（0，0），C（2

3

，0），AC中點(diǎn)D（

3

，0），
由

A1D

•

DC1

=0知：（

a

2

-

3

，

3

2

a）•（

a

2

+

3

，

3

2

a）=0，∴a²=3，a=

3

故所求側(cè)棱AA₁長為

3

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計算，考查平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角及其度量，考查計算能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想．