Question

已知函數(shù)f（x）=x⁵-5x⁴+5x³+1，當(dāng)x∈[0，2]時函數(shù)f（x）的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．

解答： 解：f′（x）=5x⁴-20x³+15x²=5x²（x-1）（x-3），
當(dāng)f′（x）=0得x=0，或x=1，或x=3，
∵0∈[0，2]，∴取x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＜0；
∴當(dāng)x∈[0，1）時，函數(shù)f（x）遞增；當(dāng)x∈（1，2]時，函數(shù)f（x）遞減；
∴函數(shù)f（x）的最小值在x=0或在x=2時取得，
∵f（0）=1、f（2）=2⁵-5×2⁴+5×2³+1=-7
∴函數(shù)y=x⁵-5x⁴+5x³+1在區(qū)間[0，2]上的最小值為-7，
故答案為：-7．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求最值是高考中常見問題，屬于基礎(chǔ)題．