(2002•上海)已知函數(shù)f(x)=ax+
x-2x+1
(a>1)
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明f(x)=0沒有負數(shù)根.
分析:(1)由于函數(shù)f(x)=ax+1-
3
x+1
,而函數(shù) y=ax(a>1)和函數(shù)y=-
3
x+1
 在(-1,+∞)上都為增函數(shù),可得函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)假設f(x)=0有負數(shù)根為x=x0<0,則有ax0+1=
3
x0+1
①.分當x0∈(-1,0)時、當x0∈(-∞,-1)兩種情況,分別根據(jù)
3
x0+1
ax0+1 的范圍,可得①根本不可能成立,綜上可得假設不成立,命題得證.
解答:解:(1)由于函數(shù)f(x)=ax+
x-2
x+1
(a>1)=ax+1-
3
x+1
,
而函數(shù) y=ax(a>1)和函數(shù)y=-
3
x+1
 在(-1,+∞)上都為增函數(shù),
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)假設f(x)=0有負數(shù)根為x=x0,且x0<0,則有f(x0)=0,故有ax0+1=
3
x0+1
 ①.
由于函數(shù)y=ax+1在R上式增函數(shù),且a0+1=2,∴ax0+1<2.
由于函數(shù)y=
3
x+1
 在(-1,+∞)上是減函數(shù),當x0∈(-1,0)時,
3
0+1
=3,∴
3
x0+1
>3,
∴①根本不可能成立,故①矛盾.
由于由于函數(shù)y=
3
x+1
在(-∞,-1)上是增函數(shù),當x0∈(-∞,-1)時,
3
x0+1
<0,
而,ax0+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.
綜上可得,①根本不可能成立,故假設不成立,故f(x)=0沒有負數(shù)根.
點評:本題主要考查函數(shù)的單調性的判斷和證明,用反證法證明不等式,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2002•上海)已知f(x)=
1-x
1+x
,α∈(
π
2
,π),則f(cosα)+f(-cosα)可化簡為
2
sinα
2
sinα

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2002•上海)已知z、ω為復數(shù),(1+3i)z為純虛數(shù),ω=
z
2+i
,且|ω|=5
2
,求ω.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2002•上海)如圖所示,客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行,貨輪從AC的中點D出發(fā),以速度v沿直線勻速航行,將貨物送達客輪.已知AB=BC=50海里,若兩船同時起航出發(fā),則兩船相遇之處距C點
40.8
40.8
海里.(結果精確到小數(shù)點后1位)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:047

已知函數(shù)

(1)證明:函數(shù)f(x)(1,+∞)上為增函數(shù);

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負實根.

(2002·上海)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案