Question

已知f(x)=

2x

4x+1

，x∈（0，1）； 
（1）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；   
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f（x）+f（-x）=λ有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）為（0，1）上的減函數(shù)．
（2）根據(jù)f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減可得

2

5

＜f(x)＜

1

2

，由于f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=f(x)，可得λ=f（x）+f（-x）=2f（x），由此求得λ的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂∈（0，1），x₁＞x₂ ，-------------（1分）
故有 f(

x

1

)-f(

x

2

)=

2x1

4x2+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x2+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x2+1)(4x2+1)

．-------（3分）
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)，
∴f（x）為減函數(shù)．---------（5分）
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即 

2

5

＜f(x)＜

1

2

．
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=f(x)，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），即當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

4

5

＜λ＜1．-------------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性的證明方法和步驟，屬于基礎(chǔ)題．