Question

已知四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=

3

，M為線段AB的中點，N為線段DE的中點，P為線段AE的中點．
（1）求證：MN⊥EA；
（2）求四棱錐M-ADNP的體積．

Answer 1

分析：（1）證明MP⊥AE，NP⊥AE，可得AE⊥平面MNP，從而可證明MN⊥EA；
（2）證明四邊形ADNP為直角梯形，MP⊥平面ADNP，即可求四棱錐M-ADNP的體積．

解答：（1）證明：∵AE⊥BE，MP∥BE，∴MP⊥AE，
又BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
∵N為DE的中點，P為AE的中點，∴NP∥AD，
∵AD∥BC，∴NP∥BC，
∴NP⊥AE，
又∵NP∩MP=P，NP，MP?平面PMN，
∴AE⊥平面MNP，
∵MN?平面MNP，
∴MN⊥EA；
（2）解：由（1）知MP⊥AE，且MP=

1

2

BE=

1

2

．
∵AD∥BC，BC⊥平面ABE，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AP，
∵NP∥AD，
∴四邊形ADNP為直角梯形，
∵MP?平面ABE，
∴AD⊥MP，
∵AD∩AE=A，
∴MP⊥平面ADNP，
∴四棱錐M-ADNP的體積V=

1

3

SADNP•MP=

1

3

•

( 1 2 +1)• 3 3

2

•

1

2

=

3

16

．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐體積的計算，正確運用線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．