Question

已知函數(shù)f （x）=2x²+x-k，g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時，g（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）若對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)可得b=d=0，代入可得函數(shù)g（x）的解析式，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)易得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得極值；
（2）對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，只需k≥2x²+4x-x³，構(gòu)造函數(shù)F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，由導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)的最大值，可得答案；
（3）對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，只需求其最小值即可．

解答：解：（1）∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），可得b=d=0，即g（x）=ax³+cx（a≠0），
又當(dāng)x=1時，g（x）取得極值-2，∴

g′(1)=0 g(1)=-2

，即

3a+c=0 a+c=-2

，
解得

a=1 c=-3

，故函數(shù)g（x）=x³-3x，導(dǎo)函數(shù)g′（x）=3x²-3，
令3x²-3=0解得x=±1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-1，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-1時，g（x）取到極大值g（-1）=2
（2）f（x）-g（x）=2x²+4x-k-x³，對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
只需k≥2x²+4x-x³，構(gòu)造函數(shù)F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，F(xiàn)′（x）=-3x²+4x+4，
令]，F(xiàn)′（x）=0可得x=2或x=-

2

3

，當(dāng)x∈（-1，-

2

3

）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（-

2

3

，2）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（2，3）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=2時，F(xiàn)（x）取到極大值F（2）=8，F(xiàn)（-1）=-1，故F（x）的最大值為8，
故實數(shù)k的取值范圍為：k≥8；
（3）若對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，
由（1）可知：當(dāng)x∈[-1，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，3]時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取到極小值，
也是該區(qū)間的最小值g（1）=-2，
而f （x）=2x²+x-k為開口向上的拋物線，對稱軸為x=-

1

4

，故當(dāng)x=3時取最大值f（3）=21-k，
由21-k≤-2，解得k≥23

點評：本題為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的極值最值和恒成立問題，屬中檔題．