Question

選修4-5：不等式選講定義min{a，b}=，求函數(shù)f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．

Answer 1

解：根據(jù)絕對值的意義，可得|x-2|+|2x+1|=…（3分）
①當(dāng)x≥2時-x²+3x+3-（3x-1）=-x²+4≤0成立，此時|x-2|+|2x+1|＞-x²+3x+3，∴f（x）=-x²+3x+3；
②當(dāng)-＜x＜2時，-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≤0在（-，0）成立，此時f（x）=-x²+3x+3．
-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≥0在[0，2）成立，此時f（x）=x+3；
③當(dāng)x時，-x²+3x+3-（-3x+1）=-x²+6x+2≤0在（-∞，-]成立，此時f（x）=-x²+3x+3；
所以f（x）=，…（6分）
可得函數(shù)在（-∞，0），（0，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)
因此，當(dāng)x≤0時，f（x）≤f（0）=3；當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜f（2）=5；當(dāng)x≥2時，f（x）≤f（2）=5．
綜上所述，可得f（x）最大值為5． …（10分）
分析：由題意，函數(shù)f（x）是取|x-2|+|2x+1|和-x²+3x+3兩個值中的較小值．因此根據(jù)x的取值范圍將|x-2|+|2x+1|化成分段函數(shù)的表達(dá)式，利用作差的方法分別得到各個范圍內(nèi)|x-2|+|2x+1|與-x²+3x+3的大小關(guān)系，從而得到f（x）的分段函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值．
點(diǎn)評：本題給出取最小值的函數(shù)min{a，b}，求f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．著重考查了絕對值的意義、分段函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值及其幾何意義等知識，屬于中檔題．