Question

已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，a₁=1，S_n=n（a_n+1）-n²
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若

3

S1S2

+

5

S2S3

+…+

2n+1

SnSn+1

=

624

625

，n∈N₊，求n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=n（a_n+1）-n²，可得S_n-1=（n-1）（a_n-1+1）-（n-1）²，兩式相減后，易得數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得S_n=n²，利用裂項相消法，可得

3

S1S2

+

5

S2S3

+…+

2n+1

SnSn+1

=1-

1

(n+1)2

=

624

625

，解方程可得答案．

解答： 解：（1）∵S_n=n（a_n+1）-n²，…①
∴S_n-1=（n-1）（a_n-1+1）-（n-1）²，…②
當n≥2時，①-②得：
a_n=na_n-（n-1）a_n-1+1-2n+1，
即a_n-a_n-1=2，
又由a₁=1，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
故a_n=2n-1，
（2）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n²，
∴

3

S1S2

+

5

S2S3

+…+

2n+1

SnSn+1

=

3

12+22

+

5

22+32

+…+

2n+1

n2+(n+1)2

=（

1

12

-

1

22

）+（

1

22

-

1

32

）+（

1

32

-

1

42

）+…+（

1

n2

-

1

(n+1)2

）
=1-

1

(n+1)2

=

624

625

，
∴n+1=25，
∴n=24．

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和，難度不大，屬于中檔題．