Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且S_n=（m+1）-ma_n對任意自然數都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證數列{a_n}是等比數列．
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足：b1=

1

3

a1，bn=f(bn-1)（n≥2，n∈N^*），試問當m為何值時，

lim

n→∞

bn(lgan)=

lim

n→∞

3(b1b2+b2b3+b3b4+…bn-1bn)成立？

Answer 1

分析：（1）由已知得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．所以

an+1

an

=

m

m+1

，由此知數列{a_n}等比數列．
（2）因為a₁=1，從而b1=

1

3

，所以bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

(n≥2，n∈N*)，

1

bn

=1+

1

bn-1

，即

1

bn

-

1

bn-1

=1．

1

bn

=3+(n-1)=n+2，bn=

1

n+2

(n∈N*)，由此入手能求出

lim

n→∞

bn(lgan)=

lim

n→∞

3(b1b2+b2b3+b3b4+…bn-1bn)成立的實數m的值．

解答：解：（I）由已知S_n+1=（m+1）-ma_n+1（1）S_n=（m+1）-ma_n（2）
由（1）-（2）得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．∵m為常數，且m＜-1．
又∵a₁=1≠0∴

an+1

an

=

m

m+1

，即數列{a_n}等比數列（5分）
（II）當n=1時，a₁=（m+1）-ma₁∴a₁=1，從而b1=

1

3

，由（1）得，
∴bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，即

1

bn

-

1

bn-1

=1．
∴{

1

bn

}為等差數列，

1

bn

=3+(n-1)=n+2，bn=

1

n+2

(n∈N*)（9分）
∵a₁=1數列{a_n}的公比為

m

m+1

，即q=f(m)=

m

m+1

從而an=(

m

m+1

)n-1

lim

n→∞

bn(lgan)=

lim

n→∞

n-1

n+2

•lg

m

m+1

=(

lim

n→∞

n-1

n+2

)lg

m

m+1

=lg

m

m+1

lim

n→∞

3(b1b2+b2b3+b3b4++bn-1bn)=

lim

n→∞

3(

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

++

1

n+1

-

1

n+2

)=1
由題意知lg

m

m+1

=1，∴

m

m+1

=10，∴m=-

10

9

（13分）

點評：本題考查數列的極限和運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．