Question

如圖，設(shè)P是圓x²+y²=2上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點，|PD|=

2

|MD|．點A（0，

2

）、F₁（-1，0）．
（1）設(shè)在x軸上存在定點F₂，使|MF₁|+|MF₂|為定值，試求F₂的坐標(biāo)，并指出定值是多少？
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)是（x，y），P的坐標(biāo)是（x_p，y_p），點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，由條件得：x_p=x，且yp=

2

y，由此能導(dǎo)出M軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓，從而能求出F₂的坐標(biāo)和定值．
（2）由（1）知，|MA|+|MF1|=2

2

+|MA|-|MF2|≤2

2

+|AF2|=2

2

+

3

，當(dāng)A，F(xiàn)₂，M三點共線，且M在AF₂延長線上時，取等號．由此能求出M點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)是（x，y），P的坐標(biāo)是（x_p，y_p），
∵點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，
由條件得：x_p=x，且yp=

2

y，
∵P在圓x²+y²=2上，∴x2+(

2

y)2=2，
整理，得

x2

2

+y2=1，c=

2-1

=1，
∴M軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓，
由橢圓定義知|MF₁|+|MF₂|=2a=2

2

．
（2）由（1）知，|MA|+|MF1|=2

2

+|MA|-|MF2|≤2

2

+|AF2|=2

2

+

3

，
當(dāng)A，F(xiàn)₂，M三點共線，且M在AF₂延長線上時，取等號．
直線AF2：x+

y

2

=1，聯(lián)立

x2

2

+y2=1，
其中1＜x＜

2

，解得

x1= 4+ 6 5 y1= 2 -2 3 5

，
即所求的M的坐標(biāo)(

4+ 6

5

，

2 -2 3

5

)．

點評：本題考查點的坐標(biāo)的求法，求定值．具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)，圓的性質(zhì)和應(yīng)用，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．