Question

已知橢圓 C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）上一點(diǎn)P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（左），F(xiàn)₂（右）的距離的和是2

2

，短軸長(zhǎng)為2
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率的值．
（2）若直線PF₁的傾斜角為45⁰，求直線PF₁被橢圓C截的弦長(zhǎng)的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先，根據(jù)焦距和短軸長(zhǎng)，求解得到c=

2

，b=1，然后，確定其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）首先，寫出直線的方程，然后，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵2c=2

2

，2b=2，
∴c=

2

，b=1，
∴a=

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

3

+y2=1，
離心率為e=

2

3

=

6

3

．
（2）∵直線PF₁的傾斜角為45⁰，
∴它的斜率為1，
∵F₁（-

2

，0），
∴直線l的方程為：y=x+

2

．
聯(lián)立方程組，

y=x+ 2 x2+3y2=3

，
得4x²+6

2

x+3=0，
∴x₁+x₂=

3 2

2

，x₁x₂=

3

4

，
∴弦長(zhǎng)

1+1

•

( 3 2 2 )2-4× 3 4

=

3

∴直線PF₁被橢圓C截的弦長(zhǎng)的長(zhǎng)度

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．