Question

設(shè)數(shù)列滿足a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

，令bn=

an+ 1 4

．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數(shù)列，試確定m，n的值．

Answer 1

分析：由已知可得an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

，即可得bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

，可證
（Ⅱ）由（1）知an=

n2-1

4

，代入可得（m²-1）²=12（n²-1），結(jié)合左面是完全平方數(shù)，則n²-1可設(shè)為3k，
則n²=3k+1，檢驗(yàn)可求k，進(jìn)而可求m，n

解答：（I ）證明：∵a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

∴an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

∴

an+1+ 1 4

2= (

an+ 1 4

+

1

2

)2
∵bn=

an+ 1 4

．
∴bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

∴{b_n}是以

1

2

為公差，以

1

2

為首項(xiàng)的等差數(shù)列
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，bn=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
（Ⅱ）解：由（1）知an=

n2-1

4

，
存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數(shù)列
則3•

n2-1

4

=(

m2-1

4

)2，整理可得（m²-1）²=12（n²-1）
左面（m²-1）²是完全平方數(shù)，則12（n²-1）=4×3（n²-1）²也一定是完全平方數(shù)
∴n²-1可設(shè)為3k，k∈N^*，且k是完全平方數(shù)n≤10，
∴n²=3k+1
∴當(dāng)k=1時(shí)，n=2，m不存在
當(dāng)k=4時(shí)，n不存在
當(dāng)k=9時(shí)，n不存在
當(dāng)k=16時(shí)，m=5，n=7
綜上可得k=16時(shí)，m=5，n=7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造證明等差數(shù)列，及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解答（II）要求考生具備一定綜合應(yīng)用知識(shí)解決綜合問題的能力．