Question

已知函數(shù)f（x）=（x³+3x²+ax+b）•e^-x．
（1）如果a=b=-3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）如果a=6+，b=5+，n∈N^*，n≥1，函數(shù)f（x）在x=a_n處取得極值．
（i）求證：∑_i-1ⁿ＜a_n（ii）求證：f（a_n）＞a（a_n+1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值，根據(jù)g（x）=x³+x-1在R上遞增，f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，則x³+x-1=0有唯一解，
（i）因?yàn)?＜a_i＜1，則有a_i³＜a_i，從而，所以，從而，由可得，所以；
（ii）根據(jù)題意可知，又，兩式相減得1＞a_n+1＞a_n＞0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，x∈（0，1），g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，則g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=，即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)a=b=-3時(shí)，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
當(dāng)x＜-3或0＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-3＜x＜0或x＞3時(shí)，f′（x）＜0．
從而f（x）在（-∞，-3），（0，3）單調(diào)遞增，在（-3，0），（3，+∞）單調(diào)遞減；
極大值為f（-3）=6e³，f（3）=42e^-3，極小值為f（0）=-3
（2）a=6+，b=5+，f（x）=[x³+3x²+（6+）x+（5+）]e^-x，
f′（x）=-[x³+3x²+（6+）x+（5+）]e^-x+[3x²+6x+（6+）]e^-x=-e^-x（x³+x-1）
令f′（x）=-e^-x（x³+x-1）=0即x³+x-1=0
因?yàn)間（x）=x³+x-1在R上遞增，f（0）=-1＜0，f（1）=＞0
∴x³+x-1=0有唯一解
（i）因?yàn)?＜a_i＜1，則有a_i³＜a_i，，
所以所以

由可得，所以
（ii）證明：顯然0＜a_n＜1
又，兩式相減得＞0
所以a_n+1＞a_n，故1＞a_n+1＞a_n＞0
f（a_n）=（3），又，所以
所以f（a_n）=（） ，a_n∈（0，1）
構(gòu)造函數(shù)g（x）=，x∈（0，1）
g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
又1＞a_n+1＞a_n＞0
所以g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=
即f（a_n）＞f（a_n+1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的問題，要求同學(xué)們掌握好導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，以及導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和證明不等式，屬于難題．