Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）=k有三個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），可求出實數(shù)m的值；
（2）根據(jù)（1）求出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得實數(shù)a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=k有三個不同的實根，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有三個不同的交點，數(shù)形結(jié)合易得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），
不妨令x=1，則f（-1）=-f（1），
即1-m=-（-1+2），
解得m=2，
經(jīng)檢驗f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

，滿足f（-x）=-f（x），
故m=2，
（2）函數(shù)f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

的圖象如下圖所示：

由圖可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，
則-1＜a-2≤1，
解得a∈（1，3]，
故實數(shù)a的取值范圍為（1，3]；
（3）若方程f（x）=k有三個不同的實根，
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有三個不同的交點，
由（2）中圖象可得：k∈（-1，1），
故實數(shù)k的取值范圍為：（-1，1）．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．