Question

在平面直角坐標系xoy中，動點P在橢圓C₁：+y²=1上，動點Q是動圓C₂：x²+y²=r²（1＜r＜2）上一點．
（1）求證：動點P到橢圓C₁的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）設(shè)橢圓C1上的三點A（x₁，y₁），B（1，），C（x₂，y₂）與點F（1，0）的距離成等差數(shù)列，線段AC的垂直平分線是否經(jīng)過一個定點為？請說明理由．
（3）若直線PQ與橢圓C₁和動圓C₂均只有一個公共點，求P、Q兩點的距離|PQ|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動點P（x，y），則，根據(jù)兩點間距離公式、點到直線的距離公式即可計算得到右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）由（1）結(jié)論可用離心率及點A、B、C橫坐標表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差數(shù)列可得x₁+x₂=2，由A，C在橢圓上得，，兩式相減整理得直線AC斜率，設(shè)線段AC的中點（m，n），由點斜式可得AC垂直平分線方程，由中點坐標公式可把該垂直平分線方程化為知含參數(shù)n的方程，據(jù)此可得定點．
（3）易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得，由直線與橢圓相切得△=0，x₁=-①，由直線PQ與圓C₂相切，則②，聯(lián)立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|²表示為r的函數(shù)，再用基本不等式可得其最大值；
解答：（1）證明：設(shè)動點P（x，y），則，
右焦點的距離與到直線x=2的距離之比為：
==，
而a=，c=1，所以離心率e=，
故動點P到橢圓C₁的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）由（1）可得|AF|=，|BF|=，|CF|=，
因為2|BF|=|AF|+|CF|，
所以=2×，即得x₁+x₂=2，
因為A，C在橢圓上，故有，，兩式相減整理得：
=-，
設(shè)線段AC的中點（m，n），而m==1，n=，
所以與直線AC垂直的直線斜率為k^′_AC=y₂+y₁=2n，
則AC垂直平分線方程為y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）經(jīng)過定點（，0）；
（3）依題意知，直線PQ的斜率顯然存在，設(shè)直線方程為y=kx+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直線方程PQ與橢圓C₁相切，點P為切點，從而有
由得，
故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0，從而可得m²=1+2k²，x₁=-①，
直線PQ與圓C₂相切，則，得m²=r²（1+k²）②，
由①②得，且-r²=+（1-）-r²
=1+-r²=1+-r²=3-r²，即|PQ|≤-1，
當且僅當時取等號，
故P、Q兩點的距離|PQ|的最大值為-1．
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．