Question

某市職教中心組織廚師技能大賽，大賽依次設基本功（初賽）、面點制作（復賽）、熱菜烹制（決賽）三個輪次的比賽，已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是，，且各輪次通過與否相互獨立．
（I）設該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）對于（I）中的ξ，設“函數(shù)f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．

Answer 1

解：（I）ξ可能取值為1，2，3．-------------------------------（2分）
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B，則
P（ξ=1）=P（）=1-=；P（ξ=2）=P（）=P（A）P（）==；
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）==--------------------（5分）
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P

ξ的數(shù)學期望Eξ=1×+2×+3×=------------------------（7分）
（Ⅱ）當ξ=1時，f（x）=3sin（）=3cos，∴f（x）為偶函數(shù)；
當ξ=2時，f（x）=3sin（）=-3sin，∴f（x）為奇函數(shù)；
當ξ=3時，f（x）=3sin（），∴f（x）為偶函數(shù)；
∴事件D發(fā)生的概率是．-----------------------------------（12分）
分析：（I）確定ξ可能取值為1，2，3，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學期望；
（Ⅱ）分別確定當ξ=1、2、3時，函數(shù)f（x）的奇偶性，即可求得事件D發(fā)生的概率．
點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，正確求概率是關鍵．