如圖,已知離心率為
3
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點M(2,1),O為坐標(biāo)原點,平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的方程.
(2)證明:直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.
分析:(Ⅰ)先由橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
和橢圓過點M(2,1),列出方程組,再由方程組求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)由直線l∥OM,設(shè)l:y=
1
2
x+m
,將式子代入橢圓C得:x2+2mx+2m2-4=0,設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.只需證明:k1+k2=0即可.
解答:(Ⅰ)解:設(shè)橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
由題意得:
c
a
=
3
2
4
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
,
解得a2=8,b2=2,
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
2
=1

(Ⅱ)證明:由直線l∥OM,設(shè)l:y=
1
2
x+m
,
將式子代入橢圓C得:x2+2mx+2m2-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2
k1=
y1-1
x1-2
,k2=
y2-1
x2-2
,
∵k1+k2=
1
2
x
1
+m-1
x1-2
+
1
2
x
2
+m-1
x2-2

=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4
=0,
故直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查三角形是等腰三角形的證明,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點分別為A1、A2,上、下頂點分別為B1、B2.設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為
1
3
,圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對稱.
精英家教網(wǎng)
(1)求橢圓E的離心率;
(2)判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若圓C的面積為π,求圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦點分別為
F1(-c,0)、F2(c,0),點A(c,b),B(0,b),O為坐標(biāo)原點,直線OA與直線F2B的交點在雙曲線E上.
(1)求雙曲線E的離心率;
(2)設(shè)直線F1A與雙曲線E 交于M、N兩點,
F1M
MA
F1N
NA
,若λ+μ=4,求雙曲線E的方程.
(3)在(2)的條件下,過點B的直線與雙曲線E相交于不同的兩點P、Q,求
BP
BQ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
,點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點,點O到直線AB的距離為
6
5
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點E(3,0),設(shè)點P、Q是橢圓C上的兩個動點,滿足EP⊥EQ,求
EP
QP
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的點到左焦點F的最長距離為
3
+2

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB,若點M在x軸上,且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線,則稱點M為該橢圓的“左特征點”,求橢圓的“左特征點”M的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB=2c(常數(shù)c>0),以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD,且AB∥CD,若橢圓以A,B為焦點,且過C,D兩點,則當(dāng)梯形ABCD的周長最大時,橢圓的離心率為
3
-1
3
-1

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