Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（1，），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線x+y+1=0與橢圓E相交于A、B（B在A上方）兩點，問是否存在直線l，使l與橢圓相交于C、D（C在D上方）兩點且ABCD為平行四邊形，若存在，求直線l的方程與平行四邊形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義和離心率的計算公式即可得出；
（Ⅱ）利用橢圓的對稱性可知存在滿足題意的平行四邊形，利用弦長公式和點到直線的距離公式即可求出其面積．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），由題意可得解得a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）如圖所示，由于直線x+y+1=0過橢圓的左焦點F₁（-1，0），且斜率為-1，由對稱性可知，存在直線l過橢圓的右焦點F₂（1，0），
且斜率為-1的直線l：x+y-1=0符合題意．
直線x+y+1=0與直線x+y-1=0的距離為d==．
聯(lián)立得7x²-8x-8=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=-．
∴|CD|==．
故平行四邊形ABCD的面積S==．
點評：熟練掌握橢圓的定義和離心率的計算公式、橢圓的對稱性、弦長公式和點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．