拋物線有光學性質: 由其焦點射出的光線經拋物線折射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出,今有拋物線y2=2px(p>0) 一光源在點M(,4)處,由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P,折射后又射向拋物線上的點Q,再折射后,又沿平行于拋物線的軸的方向射出,途中遇到直線l: 2x-4y-17=0上的點N,再折射后又射回點M(如下圖所示)

(1)設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),證明:y1·y2=-p2
(2)求拋物線的方程;
(3)試判斷在拋物線上是否存在一點,使該點與點M關于PN所在的直線對稱?若存在,請求出此點的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)證明略, (2) y2=4x (3) 拋物線上存在一點(,-1)與點M關于直線PN對稱.
由拋物線的光學性質及題意知
光線PQ必過拋物線的焦點F(,0),
設直線PQ的方程為y=k(x)                         ①
由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中,整理,得y2yp2=0,由韋達定理,y1y2=-p2。
當直線PQ的斜率角為90°時,將x=代入拋物線方程,得yp,同樣得到y1·y2=-p2.
(2)解:因為光線QN經直線l反射后又射向M點,所以直線MN與直線QN關于直線l對稱,設點M(,4)關于l的對稱點為M′(x′,y′),則
解得
直線QN的方程為y=-1,Q點的縱坐標y2=-1,
由題設P點的縱坐標y1=4,且由(1)知:y1·y2=-p2,則4·(-1)=-p2,
p=2,故所求拋物線方程為y2=4x。 
(3)解: 將y=4代入y2=4x,得x=4,故P點坐標為(4,4)
y=-1代入直線l的方程為2x-4y-17=0,得x=,
N點坐標為(,-1)
P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y-12=0,
M點關于直線NP的對稱點M1(x1,y1)

M1(,-1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解,故拋物線上存在一點(,-1)與點M關于直線PN對稱.
練習冊系列答案
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(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中,拋物線C的頂點在原點,經過點A(2,2),其焦點F軸上。
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)求過點F,且與直線OA垂直的直線的方程;
(3)設過點的直線交拋物線CD、E兩點,ME=2DM,記DE兩點間的距離為,求關于的表達式。

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