Question

已知點(diǎn)A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，過點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l₁和l₂，且l₁，l₂與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)分別為B、C．
（I）求證：直線BC的斜率為定值；
（II）若拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱，求|BC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(diǎn)A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，確定A的坐標(biāo)，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_AB+k_AC=0，kBC=

x1+x2

4

，即可得解；
（II）設(shè)直線BC的方程為y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關(guān)于直線BC對(duì)稱，確定PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用M在拋物線內(nèi)部，確定b的范圍，進(jìn)一步計(jì)算|BC|，即可得到結(jié)論．

解答：（I）證明：∵點(diǎn)A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，∴m=4
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則k_AB+k_AC=

x1+4

4

+

x2+4

4

=0
∴x₁+x₂=-8
∴kBC=

x1+x2

4

=-2
∴直線BC的斜率為定值-2；
（II）解：設(shè)直線BC的方程為y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關(guān)于直線BC對(duì)稱，
設(shè)PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀），則kPQ=

x3+x4

4

=

x0

2

=

1

2

，
∴x₀=1，故M（1，-2+b）
∵M(jìn)在拋物線內(nèi)部，
∴-2+b＞

1

4

，解得b＞

9

4

y=-2x+b代入拋物線可得x²+8x-4b=0，
∴x₃+x₄=-8，x₃x₄=-4b
∴|BC|=

1+4

|x3-x4|=

5

×

64+16b

＞10

5

∴|BC|的取值范圍為（10

5

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是正確求斜率，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)，屬于中檔題．