Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

，且點(diǎn)P（-2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A、B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA⊥PB時(shí)，求證：直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意得

c

a

=

3

2

，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情況討論：①當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理即及

PA

•

PB

=0可得m，k的關(guān)系式，分別代入直線方程可求得定點(diǎn)坐標(biāo)，②當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線AB：x=-

6

5

，檢驗(yàn)即可；

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意得

c

a

=

3

2

，a=2，所以c=

3

，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）①當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由

x2+4y2=4 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，

PA

•

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=

6

5

k或m=2k，
當(dāng)m=

6

5

k時(shí)，AB：y=kx+

6

5

k恒過(guò)定點(diǎn)(-

6

5

，0)；
當(dāng)m=2k時(shí)，AB：y=kx+2k恒過(guò)定點(diǎn)（-2，0），不符合題意舍去；
②當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線AB：x=-

6

5

，則AB與橢圓C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)，
∴

PA

•

PB

=(

4

5

，-

4

5

)•(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0，∵PA⊥PB，滿足題意，
綜上可知，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(-

6

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．