已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=3,a
n+1=
,n∈N
*,記b
n=
.
(I) 求證:數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列;
(II) 若a
n≤t•4
n對任意n∈N
*恒成立,求t的取值范圍;
(III)記C
n=
,求證:C
1•C
2…C
n>
.
分析:(Ⅰ)由條件先得
an+1=,再分別表示∴a
n+1-2,a
n+1+1,兩式相除,可得數(shù)列{b
n}是首項為
,公比為
的等比數(shù)列.
(II) 由(Ⅰ)可知
an=,對a
n≤t•4
n分離參數(shù)得
t≥,從而可解;
(III)由題意可得C
1•C
2…C
n=
(1-)…(1-),欲證此結(jié)論,先證明:若x
1,x
2,…x
n為正數(shù),則(1-x
1)…(1-x
n)>1-(x
1+x
2+…+x
n)成立.
解答:解:(Ⅰ)證明:由a
n+1=
,n∈N
*得a
n+1-2=
-2=
①a
n+1+1=
+1=
②
①÷②
=×即b
n+1=
b
n,且
b1=∴數(shù)列{b
n}是首項為
,公比為
的等比數(shù)列.(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
bn==,∴
an=由a
n≤t•4
n得
t≥易得
是關(guān)于n的減函數(shù),∴
≤,∴
t≥(8分)
(Ⅲ)由
an=得
=1-∴C
1•C
2…C
n=
(1-)…(1-)(10分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:
若x
1,x
2,…x
n為正數(shù),則(1-x
1)…(1-x
n)>1-(x
1+x
2+…+x
n)(*)
1°當n=2時,∵x
1,x
2為正數(shù),∴(1-x
1)(1-x
2)=1-(x
1+x
2)+x
1x
2>1-(x
1+x
2)
2°假設(shè)當n=k(k≥2)時,不等式成立,即若x
1,x
2,…,x
k為正數(shù),則
(1-x
1)(1-x
2)…(1-x
k)>1-(x
1+x
2…+x
k)
那么(1-x
1)(1-x
2)…(1-x
k)(1-x
k+1)>1-(x
1+x
2…+x
k+x
k+1)
這就是說當n=k+1時不等式成立.(12分)
根據(jù)不等式(*)得:C
1•C
2…C
n=
(1-)…(1-)>1-(+…+)>∴C
1•C
2…C
n>
.(14分)
點評:本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項,考查分離參數(shù)法求解恒成立問題,考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1且
an+1=, n∈N*.
(1)若數(shù)列{b
n}滿足:
bn=(n∈N*),試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n;
(3)數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n=
(n≥2,n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a
1•a
2•…a
n<2•n!
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*)
(1)若
a1=,求a
n;
(2)若a
1=a∈(k,k+1),(k∈N
*),求{a
n}的前3k項的和S
3k(用k,a表示)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•北京模擬)已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2,且a
1=1,那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
.
查看答案和解析>>