Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

{x|

1

2

≤x≤

5

2

}

．

Answer 1

分析：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|a+b|+|a-b|≥2|a|，再由所給的條件可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．再根據(jù)絕對(duì)值的意義求得2≥|x-1|+|x-2|
的解集．

解答：解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+（a-b）|=2|a|，
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），
故有2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．
而由絕對(duì)值的意義可得|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而

1

2

和

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，
故2≥|x-1|+|x-2|的解集為 x|

1

2

≤x≤

5

2

，
故答案為 x|

1

2

≤x≤

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．