Question

判斷正誤:

正三棱柱底面一邊的長為a, 側(cè)棱長為, 過底面的一邊作一個截面與底面所成的二面角為θ ＝ arctanm, 則這個截面的面積是

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Answer 1

答案：F
解析：

解: 如圖, 設(shè)正三棱柱為ABC─A＇B＇C＇, 過底面一邊BC的截面可能與側(cè)棱相交于D或與上底面A＇B＇C＇相交于線段EF, 顯然這兩種截面是以截面A＇BC為分界. 取BC的中點N, 連結(jié)A＇N, BC⊥AN,所以BC⊥A＇N. 那么∠A＇NA是二面角A─BC─A＇的平面角. 因為A＇A＝,  AN＝a 故∠A＇NA＝30°, 現(xiàn)分兩種情況研究如下: ⑴θ≤30°, 則截面與A＇A相交而成△DBC, 因為tan∠AND＝ 所以AD＝a··m 在Rt△DAN中, 有DN＝＝, 所以S△DBC＝BC·DN＝ ⑵若θ＞30°, 則截面與上底面相交而成梯形,  又  因為△BB＇E≌△CC＇F,  所以BEFC為一等腰梯形 取EF的中點M＇, 作M＇M⊥底面ABC, 垂足M必在AN上, 在Rt△M＇MN中,  有＝tan∠M＇NM＝tan(arctanm)＝m,  所以MN＝＝ 可證△A＇EF∽△ABC 所以，∴EF＝ EF＝＝ 所以S截面BEFC＝(BC+EF)M＇N＝

提示：

分兩種情況討論 當截面與底面所成的角θ≤30°時, 截面為三角形 當截面與底面所成的角θ＞30°時, 截面為四邊形