Question

(1)已知數(shù)列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且數(shù)列｛c_n+1-pc_n｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p;

(2)設(shè)｛a_n｝｛b_n｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，c_n=a_n+b_n,證明數(shù)列｛c_n｝不是等比數(shù)列.

Answer 1

解：（1）因為｛c_n+1-pc_n｝是等比數(shù)列，故有

(c_n+1-pc_n)²＝（c_n+2－pc_n+1）（c_n－pc_n-1）.

將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

［2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ＋3ⁿ）］²

＝［2ⁿ⁺²＋3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）］·［2ⁿ＋3^n-p（2^n-1＋3^n-1）］,

即［（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ］²

＝［（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹］［（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1］.

整理得(2-p)(3-p)·2ⁿ·3ⁿ=0.

解得p=2或p=3.

(2)設(shè)｛a_n｝｛b_n｝的公比分別為p、q，p≠q,c_n=a_n+b_n.

為證｛c_n｝不是等比數(shù)列，只需證

c₂²≠c₁·c₃.

事實上，c₂²＝（a₁p＋b₁q）²

＝a₁²p²＋b₁²q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃＝（a₁＋b₁）（a₁p²＋b₁q²）＝a₁²p²＋b₁²q²＋a₁b₁（p²＋q²）,

由于p≠q，p²＋q²＞2pq，又a₁、b₁不為零，

因此c₂²≠c₁·c₃，故｛c_n｝不是等比數(shù)列.