Question

10．設(shè)甲乙兩地相距100海里，船從甲地勻速駛到乙地，已知某船的最大船速是36海里/時：當(dāng)船速不大于每小時30海里/時，船每小時使用的燃料費用和船速成正比；當(dāng)船速不小于每小時30海里/時，船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比；當(dāng)船速為30海里/時，它每小時使用的燃料費用為300元；其余費用（不論船速為多少）都是每小時480元；
（1）試把每小時使用的燃料費用P（元）表示成船速v（海里/時）的函數(shù)；
（2）試把船從甲地行駛到乙地所需要的總費用Y表示成船速v的函數(shù)；
（3）當(dāng)船速為每小時多少海里時，船從甲地到乙地所需要的總費用最少？

Answer 1

分析 （1）分類討論，當(dāng)0＜v≤30時，設(shè)P=kv，從而解得P=10v；再求當(dāng)30≤v≤36時的解析式即可；
（2）分類討論求總費用Y的值，從而利用分段函數(shù)寫出即可；
（3）由分段函數(shù)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而由單調(diào)性求最小值即可．

解答 解：（1）由題意，當(dāng)0＜v≤30時，設(shè)P=kv，
由300=30k解得，k=10；
故P=10v，
當(dāng)30≤v≤36時，設(shè)P=mv²，
由300=30²m解得，m=$\frac{1}{3}$；
故P=$\left\{\begin{array}{l}{10v，0＜v≤30}\\{\frac{1}{3}{v}^{2}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0＜v≤30時，
Y=（10v+480）$\frac{100}{v}$=1000+$\frac{48000}{v}$，
當(dāng)30≤v≤36時，
Y=（$\frac{1}{3}$v²+480）•$\frac{100}{v}$=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$；
故Y=$\left\{\begin{array}{l}{1000+\frac{48000}{v}，0＜v≤30}\\{\frac{100}{3}v+\frac{48000}{v}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)0＜v≤30時，Y=1000+$\frac{48000}{v}$是減函數(shù)，
當(dāng)30≤v≤36時，Y=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$在[30，36]上是減函數(shù)；
故Y在（0，36]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=36時，Y有最小值為$\frac{100}{3}$×36+$\frac{48000}{36}$=$\frac{7600}{3}$（元）．

點評 本題考查了分段函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．